平成30年度/本試験/数学I・数学Ａ/第1問 をテンプレートにして作成

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*第１問（必答問題）（配点３０） [#s175cf02] **〔1〕 [#pca6ad83] xを実数とし A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x） とおく。 整数nに対して （x＋n）（n＋5－x）＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n であり， ---- （x＋n）（n＋5－x） ＝x（n＋5－x）+n^2+5n-nx ＝x（5－x）+n^2+5n ＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n ---- したがって， X＝x（5－x） とおくと A＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ]) と表せる。 ---- A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x） ＝x（5－x）（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x ） ＝X（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x） ＝X{（x＋1）（6－x）}{（x＋2）（7－x）} ＝X{（x＋1）（1+5－x）}{（x＋2）（2+5－x）} ＝X{x（5－x）+1^2+5*1}{x（5－x）+2^2+5*2} ＝X{X+6}{X+14} ＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ]) ---- x＝(５＋√１７)/2のとき，X＝[オ]であり，A＝２^[カ]である。 ---- X＝x（5－x） =(５＋√１７)/2[5－{(５＋√１７)/2}] =(５＋√１７)/2(5－√１７)/2 ={５^2-(√１７)^2}/4 ={25-１７}/4 ={8}/4 =2 ＝[オ] A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x） ＝X{X+6}{X+14} ＝2{2+6}{2+14} ＝2{8}{16} ＝2{2^3}{2^4} ＝2^8 ＝２^[カ] ---- **〔2〕 [#qac14c5a] ***(1) [#wb4d999d] 全体集合Uを U＝｛x|xは２０以下の自然数｝とし，次の部分集合 A，B，Cを考える。 A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝ B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝ C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝ 集合Aの補集合をA-と表し，空集合を∅と表す。 次の[キ] に当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ。 集合の関係 (a)A⊂C (b)A∩B＝∅ の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。 [キ]:(a)(b) 0:正正 1:正誤 2:誤正 3:誤誤 ---- U＝｛x|xは２０以下の自然数｝ ={1,2,,,,,19,20} A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝ ={1,2,4,5,10,20} B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝ ={3,6,9,12,15,18} C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝ ={2,4,6,,,,,,,18,20} (a)A⊂C→AはすべてCに含まれる→誤 (b)A∩B＝∅→AかつBを満たすものは無い→正 [キ]：２ ---- 集合の関係 (c)（A∪C）∩B＝｛6，１２，１８｝ (d)（A-∩C）∪B＝A-∩（B∪C） の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。 ---- U＝｛x|xは２０以下の自然数｝ ={1,2,,,,,19,20} A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝ ={1,2,4,5,10,20} B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝ ={3,6,9,12,15,18} C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝ ={2,4,6,,,,,,,18,20} (c)（A∪C）∩B＝｛6，１２，１８｝ （A∪C）∩B =（{1,2,4,5,10,20}∪(または){2,4,6,,,,,,,18,20}）∩（かつ... ={6,12,18} (c)：正 (d)（A-∩C）∪B＝A-∩（B∪C） （A-∩C）∪B ={6,8,12,14,16,18}∪{3,6,9,12,15,18} ={3,6,8,9,12,14,15,16,18} A-∩（B∪C） ={3,6,8,9,12,14,15,16,18} (d)：正 ---- ***(2) [#o2e4abc6] 実数xに関する次の条件p，q，r，sを考える。 p：|x－2|＞2，q：x＜0，r：x＞4，s：√(x^２)>4 次の[ケ]，[コ] に当てはまるものを，下の(0)～(3)のうちか... ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。 ~ qまたはrであることは，pであるための[ケ]。 また，sはrであるための[コ]。 ~ (0):必要条件であるが，十分条件ではない (1):十分条件であるが，必要条件ではない (2):必要十分条件である (3):必要条件でも十分条件でもない ---- p：|x－2|＞2 x－2＞2 (x-2≧0のとき),－(x－2)＞2 (x-2<0のとき) x＞4 (x≧2のとき),－x＋2＞2 (x<２のとき) x＞4,x＜０ (x<２のとき) x＞4,x＜０ q：x＜0 r：x＞4 s：√(x^２)>4 x>4(x≧０のとき),－x>4(x＜０のとき) x>4,x＜－４ p：x＞4,x＜０ q：x＜0 r：x＞4 s：x>4,x＜－４ qまたはrであることは，pであるための[ケ]。 qまたはr: x＜0,x＞4 p：x＞4,x＜０ [ケ]：必要十分条件 また，sはrであるための[コ]。 s：x>4,x＜－４ r：x＞4 [コ]：必要条件 ---- **〔3〕 [#s1fab3d9] aを正の実数とし f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１ とする。 2次関数 y＝f（x）のグラフの頂点の x座標をpとおくと p＝[サ]＋[シ]/a である。 0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（4）となるようなaの... 0＜a≦[ス] である。 また，0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（p）となるよ... [セ]≦aである。 したがって，0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値が1 であるのは a＝[ソ]/[タ] または a＝{[チ]＋√([ツテ])}/[ト] のときである。 ---- f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１ =a(x^２－2/a（a＋3）x)－3a＋２１ =a{x－(1+3/a)}^2－a(1+3/a)^2－3a＋２１ =a{x－(1+3/a)}^2－a-6+9/a－3a＋２1 =a{x－(1+3/a)}^2－4a+15-9/a p=1+3/a ＝[サ]＋[シ]/a ~ a>0よりf(x)は下に凸の二次関数。 ~ 0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（4） →p=1+3/a≧4 3≧3a 3≧3a a≦1 0＜a≦[ス] (a:正の実数→a>0) ~ 0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（p） →p=1+3/a≦4 1≦a [セ]≦a ~ 0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値が1 f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１ a≦1のとき、 f（4）＝16a－8（a＋3）－3a＋２１ ＝5a－3 ＝1 a=4/5 (a≦1を満たしている) a＝[ソ]/[タ] 1≦aのとき、 f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１ =a{x－(1+3/a)}^2－4a+15-9/a =a{x－p}^2－4a+15-9/a f（p）＝－4a+15-9/a ＝1 －4a+15-9/a ＝1 4a^2-14a+9 ＝0 a={14±√(14^2-4・４・９)}/8 ={14±2√(7^2-4・９)}/8 ={7±√(49-36)}/4 ={7±√(13)}/4 a＝{[チ]＋√([ツテ])}/[ト]

終了行:
*第１問（必答問題）（配点３０） [#s175cf02] **〔1〕 [#pca6ad83] xを実数とし A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x） とおく。 整数nに対して （x＋n）（n＋5－x）＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n であり， ---- （x＋n）（n＋5－x） ＝x（n＋5－x）+n^2+5n-nx ＝x（5－x）+n^2+5n ＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n ---- したがって， X＝x（5－x） とおくと A＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ]) と表せる。 ---- A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x） ＝x（5－x）（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x ） ＝X（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x） ＝X{（x＋1）（6－x）}{（x＋2）（7－x）} ＝X{（x＋1）（1+5－x）}{（x＋2）（2+5－x）} ＝X{x（5－x）+1^2+5*1}{x（5－x）+2^2+5*2} ＝X{X+6}{X+14} ＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ]) ---- x＝(５＋√１７)/2のとき，X＝[オ]であり，A＝２^[カ]である。 ---- X＝x（5－x） =(５＋√１７)/2[5－{(５＋√１７)/2}] =(５＋√１７)/2(5－√１７)/2 ={５^2-(√１７)^2}/4 ={25-１７}/4 ={8}/4 =2 ＝[オ] A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x） ＝X{X+6}{X+14} ＝2{2+6}{2+14} ＝2{8}{16} ＝2{2^3}{2^4} ＝2^8 ＝２^[カ] ---- **〔2〕 [#qac14c5a] ***(1) [#wb4d999d] 全体集合Uを U＝｛x|xは２０以下の自然数｝とし，次の部分集合 A，B，Cを考える。 A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝ B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝ C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝ 集合Aの補集合をA-と表し，空集合を∅と表す。 次の[キ] に当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ。 集合の関係 (a)A⊂C (b)A∩B＝∅ の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。 [キ]:(a)(b) 0:正正 1:正誤 2:誤正 3:誤誤 ---- U＝｛x|xは２０以下の自然数｝ ={1,2,,,,,19,20} A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝ ={1,2,4,5,10,20} B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝ ={3,6,9,12,15,18} C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝ ={2,4,6,,,,,,,18,20} (a)A⊂C→AはすべてCに含まれる→誤 (b)A∩B＝∅→AかつBを満たすものは無い→正 [キ]：２ ---- 集合の関係 (c)（A∪C）∩B＝｛6，１２，１８｝ (d)（A-∩C）∪B＝A-∩（B∪C） の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。 ---- U＝｛x|xは２０以下の自然数｝ ={1,2,,,,,19,20} A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝ ={1,2,4,5,10,20} B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝ ={3,6,9,12,15,18} C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝ ={2,4,6,,,,,,,18,20} (c)（A∪C）∩B＝｛6，１２，１８｝ （A∪C）∩B =（{1,2,4,5,10,20}∪(または){2,4,6,,,,,,,18,20}）∩（かつ... ={6,12,18} (c)：正 (d)（A-∩C）∪B＝A-∩（B∪C） （A-∩C）∪B ={6,8,12,14,16,18}∪{3,6,9,12,15,18} ={3,6,8,9,12,14,15,16,18} A-∩（B∪C） ={3,6,8,9,12,14,15,16,18} (d)：正 ---- ***(2) [#o2e4abc6] 実数xに関する次の条件p，q，r，sを考える。 p：|x－2|＞2，q：x＜0，r：x＞4，s：√(x^２)>4 次の[ケ]，[コ] に当てはまるものを，下の(0)～(3)のうちか... ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。 ~ qまたはrであることは，pであるための[ケ]。 また，sはrであるための[コ]。 ~ (0):必要条件であるが，十分条件ではない (1):十分条件であるが，必要条件ではない (2):必要十分条件である (3):必要条件でも十分条件でもない ---- p：|x－2|＞2 x－2＞2 (x-2≧0のとき),－(x－2)＞2 (x-2<0のとき) x＞4 (x≧2のとき),－x＋2＞2 (x<２のとき) x＞4,x＜０ (x<２のとき) x＞4,x＜０ q：x＜0 r：x＞4 s：√(x^２)>4 x>4(x≧０のとき),－x>4(x＜０のとき) x>4,x＜－４ p：x＞4,x＜０ q：x＜0 r：x＞4 s：x>4,x＜－４ qまたはrであることは，pであるための[ケ]。 qまたはr: x＜0,x＞4 p：x＞4,x＜０ [ケ]：必要十分条件 また，sはrであるための[コ]。 s：x>4,x＜－４ r：x＞4 [コ]：必要条件 ---- **〔3〕 [#s1fab3d9] aを正の実数とし f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１ とする。 2次関数 y＝f（x）のグラフの頂点の x座標をpとおくと p＝[サ]＋[シ]/a である。 0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（4）となるようなaの... 0＜a≦[ス] である。 また，0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（p）となるよ... [セ]≦aである。 したがって，0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値が1 であるのは a＝[ソ]/[タ] または a＝{[チ]＋√([ツテ])}/[ト] のときである。 ---- f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１ =a(x^２－2/a（a＋3）x)－3a＋２１ =a{x－(1+3/a)}^2－a(1+3/a)^2－3a＋２１ =a{x－(1+3/a)}^2－a-6+9/a－3a＋２1 =a{x－(1+3/a)}^2－4a+15-9/a p=1+3/a ＝[サ]＋[シ]/a ~ a>0よりf(x)は下に凸の二次関数。 ~ 0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（4） →p=1+3/a≧4 3≧3a 3≧3a a≦1 0＜a≦[ス] (a:正の実数→a>0) ~ 0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（p） →p=1+3/a≦4 1≦a [セ]≦a ~ 0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値が1 f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１ a≦1のとき、 f（4）＝16a－8（a＋3）－3a＋２１ ＝5a－3 ＝1 a=4/5 (a≦1を満たしている) a＝[ソ]/[タ] 1≦aのとき、 f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１ =a{x－(1+3/a)}^2－4a+15-9/a =a{x－p}^2－4a+15-9/a f（p）＝－4a+15-9/a ＝1 －4a+15-9/a ＝1 4a^2-14a+9 ＝0 a={14±√(14^2-4・４・９)}/8 ={14±2√(7^2-4・９)}/8 ={7±√(49-36)}/4 ={7±√(13)}/4 a＝{[チ]＋√([ツテ])}/[ト]

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