平成30年度/本試験/数学I・数学Ａ/第2問/1

目次

四角形ABCD において，3辺の長さをそれぞれAB ＝5，BC ＝9，
CD ＝3，対角線AC の長さをAC ＝6とする。このとき


cos ∠ABC ＝ア/イ， sin ∠ABC ＝ウ√(エ)/オ


である。


余弦定理：BC^2=AC^2+AB^2-2AC・AB・cosA

余弦定理より、
cos ∠ABC ＝(-AC^2+AB^2+BC^2)/(2AB・BC)
=(-36+25+81)/(2・5・9)
=70/90
=7/9
＝ア/イ

sin^2 θ+cos^2 θ=1

sin∠ABC ＝√(1-cos^2 ∠ABC)
（∠ABC<180°よりsin∠ABC >0なので）
=√(1-49/81)
=√(32/81)
=4√(2)/9
＝ウ√(エ)/オ 

ここで，四角形ABCD は台形であるとする。
次のカには下の0～2から， キには3・4から当てはまるも
のを一つずつ選べ。
CD カ AB・sin ∠ABC であるから キ である。


0 ＜
1 ＝
2 ＞
3 辺AD と辺BC が平行
4 辺AB と辺CD が平行

CD ＝3
=27/9
AB・sin∠ABC ＝5・4√(2)/9 
=20√(2)/9 >28/9
CD < AB・sin∠ABC
カ = 0

以下、図を書かないとわからないので後回し。

キ＝４

したがって
BD ＝ ク√（ケコ）
である。

BD ＝ 2√（33）

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