平成30年度/本試験/数学I・数学Ａ/第1問

目次

第１問（必答問題）（配点３０）

〔1〕

xを実数とし
A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x）
とおく。
整数nに対して
（x＋n）（n＋5－x）＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n
であり，

（x＋n）（n＋5－x）
＝x（n＋5－x）+n^2+5n-nx
＝x（5－x）+n^2+5n
＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n

したがって，
X＝x（5－x）
とおくと
A＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ])
と表せる。

A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x） 
＝x（5－x）（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x ）
＝X（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x）
＝X{（x＋1）（6－x）}{（x＋2）（7－x）}
＝X{（x＋1）（1+5－x）}{（x＋2）（2+5－x）}
＝X{x（5－x）+1^2+5*1}{x（5－x）+2^2+5*2}
＝X{X+6}{X+14}
＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ])

x＝(５＋√１７)/2のとき，X＝[オ]であり，A＝２^[カ]である。

X＝x（5－x）
=(５＋√１７)/2[5－{(５＋√１７)/2}]
=(５＋√１７)/2(5－√１７)/2
={５^2-(√１７)^2}/4
={25-１７}/4
={8}/4
=2
＝[オ]

A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x） 
＝X{X+6}{X+14}
＝2{2+6}{2+14}
＝2{8}{16}
＝2{2^3}{2^4}
＝2^8
＝２^[カ]

〔2〕

(1)

全体集合Uを
U＝｛x|xは２０以下の自然数｝とし，次の部分集合
A，B，Cを考える。
A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝
B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝
C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝
集合Aの補集合をA-と表し，空集合を∅と表す。
次の[キ] に当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ。
集合の関係
(a)A⊂C
(b)A∩B＝∅
の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。
[キ]:(a)(b)
0:正正
1:正誤
2:誤正
3:誤誤

U＝｛x|xは２０以下の自然数｝
={1,2,,,,,19,20}
A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝
={1,2,4,5,10,20}
B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝
={3,6,9,12,15,18}
C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝ 
={2,4,6,,,,,,,18,20}

(a)A⊂C→AはすべてCに含まれる→誤
(b)A∩B＝∅→AかつBを満たすものは無い→正

[キ]：２

集合の関係
(c)（A∪C）∩B＝｛6，１２，１８｝
(d)（A-∩C）∪B＝A-∩（B∪C）
の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。

U＝｛x|xは２０以下の自然数｝
={1,2,,,,,19,20}
A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝
={1,2,4,5,10,20}
B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝
={3,6,9,12,15,18}
C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝ 
={2,4,6,,,,,,,18,20}

(c)（A∪C）∩B＝｛6，１２，１８｝
（A∪C）∩B
=（{1,2,4,5,10,20}∪(または){2,4,6,,,,,,,18,20}）∩（かつ）{3,6,9,12,15,18}
={6,12,18}
(c)：正

(d)（A-∩C）∪B＝A-∩（B∪C）
（A-∩C）∪B
={6,8,12,14,16,18}∪{3,6,9,12,15,18}
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}

A-∩（B∪C）
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}
(d)：正

(2)

実数xに関する次の条件p，q，r，sを考える。
p：|x－2|＞2，q：x＜0，r：x＞4，s：√(x^２)>4
次の[ケ]，[コ] に当てはまるものを，下の(0)～(3)のうちからそれぞれ一つ選べ。
ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。


qまたはrであることは，pであるための[ケ]。
また，sはrであるための[コ]。


(0):必要条件であるが，十分条件ではない
(1):十分条件であるが，必要条件ではない
(2):必要十分条件である
(3):必要条件でも十分条件でもない

p：|x－2|＞2
x－2＞2 (x-2≧0のとき),－(x－2)＞2 (x-2<0のとき)
x＞4 (x≧2のとき),－x＋2＞2 (x<２のとき)
x＞4,x＜０ (x<２のとき)
x＞4,x＜０

q：x＜0
r：x＞4

s：√(x^２)>4
x>4(x≧０のとき),－x>4(x＜０のとき)
x>4,x＜－４


p：x＞4,x＜０
q：x＜0
r：x＞4
s：x>4,x＜－４

qまたはrであることは，pであるための[ケ]。

qまたはr: x＜0,x＞4
p：x＞4,x＜０
[ケ]：必要十分条件
 
また，sはrであるための[コ]。
s：x>4,x＜－４
r：x＞4
[コ]：必要条件

〔3〕

aを正の実数とし
f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１
とする。
2次関数 y＝f（x）のグラフの頂点の x座標をpとおくと
p＝[サ]＋[シ]/a
である。
0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（4）となるようなaの値の範囲は
0＜a≦[ス]
である。
また，0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（p）となるようなaの値の範囲は
[セ]≦aである。
したがって，0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値が1
であるのは
a＝[ソ]/[タ] または a＝{[チ]＋√([ツテ])}/[ト]
のときである。

 f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１
=a(x^２－2/a（a＋3）x)－3a＋２１
=a{x－(1+3/a)}^2－a(1+3/a)^2－3a＋２１
=a{x－(1+3/a)}^2－a-6+9/a－3a＋２1
=a{x－(1+3/a)}^2－4a+15-9/a

p=1+3/a
＝[サ]＋[シ]/a

a>0よりf(x)は下に凸の二次関数。

0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（4）
→p=1+3/a≧4
3≧3a
3≧3a
a≦1
0＜a≦[ス]
(a:正の実数→a>0)

0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（p）
→p=1+3/a≦4
1≦a
[セ]≦a

0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値が1
f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１
a≦1のとき、
f（4）＝16a－8（a＋3）－3a＋２１
＝5a－3
＝1
a=4/5 (a≦1を満たしている)
a＝[ソ]/[タ]

1≦aのとき、
 f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１
=a{x－(1+3/a)}^2－4a+15-9/a
=a{x－p}^2－4a+15-9/a
f（p）＝－4a+15-9/a
＝1
－4a+15-9/a ＝1
4a^2-14a+9 ＝0
a={14±√(14^2-4・４・９)}/8
={14±2√(7^2-4・９)}/8
={7±√(49-36)}/4
={7±√(13)}/4
a＝{[チ]＋√([ツテ])}/[ト]

下層ページ一覧

コメント