平成30年度/本試験/数学I・数学A/第1問 のバックアップ(No.7)


第1問(必答問題)(配点30) Edit

〔1〕 Edit

xを実数とし
A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)
とおく。
整数nに対して
(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+[ア]n
であり,


(x+n)(n+5-x)
=x(n+5-x)+n^2+5n-nx
=x(5-x)+n^2+5n
=x(5-x)+n^2+[ア]n

したがって,
X=x(5-x)
とおくと
A=X(X+[イ])(X+[ウエ])
と表せる。


A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x) 
=x(5-x)(x+1)(x+2)(6-x)(7-x )
=X(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)
=X{(x+1)(6-x)}{(x+2)(7-x)}
=X{(x+1)(1+5-x)}{(x+2)(2+5-x)}
=X{x(5-x)+1^2+5*1}{x(5-x)+2^2+5*2}
=X{X+6}{X+14}
=X(X+[イ])(X+[ウエ])

x=(5+√17)/2のとき,X=[オ]であり,A=2^[カ]である。


X=x(5-x)
=(5+√17)/2[5-{(5+√17)/2}]
=(5+√17)/2(5-√17)/2
={5^2-(√17)^2}/4
={25-17}/4
={8}/4
=2
=[オ]

A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x) 
=X{X+6}{X+14}
=2{2+6}{2+14}
=2{8}{16}
=2{2^3}{2^4}
=2^8
=2^[カ]

〔2〕 Edit

(1) Edit

全体集合Uを
U={x|xは20以下の自然数}とし,次の部分集合
A,B,Cを考える。
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
C={x|x∈Uかつxは偶数}
集合Aの補集合をA-と表し,空集合を∅と表す。
次の[キ] に当てはまるものを,下の0~3のうちから一つ選べ。
集合の関係
(a)A⊂C
(b)A∩B=∅
の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。
[キ]:(a)(b)
0:正正
1:正誤
2:誤正
3:誤誤


U={x|xは20以下の自然数}
={1,2,,,,,19,20}
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
={1,2,4,5,10,20}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
={3,6,9,12,15,18}
C={x|x∈Uかつxは偶数} 
={2,4,6,,,,,,,18,20}

(a)A⊂C→AはすべてCに含まれる→誤
(b)A∩B=∅→AかつBを満たすものは無い→正

[キ]:2

集合の関係
(c)(A∪C)∩B={6,12,18}
(d)(A-∩C)∪B=A-∩(B∪C)
の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。


U={x|xは20以下の自然数}
={1,2,,,,,19,20}
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
={1,2,4,5,10,20}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
={3,6,9,12,15,18}
C={x|x∈Uかつxは偶数} 
={2,4,6,,,,,,,18,20}

(c)(A∪C)∩B={6,12,18}
(A∪C)∩B
=({1,2,4,5,10,20}∪(または){2,4,6,,,,,,,18,20})∩(かつ){3,6,9,12,15,18}
={6,12,18}
(c):正

(d)(A-∩C)∪B=A-∩(B∪C)
(A-∩C)∪B
={6,8,12,14,16,18}∪{3,6,9,12,15,18}
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}

A-∩(B∪C)
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}
(d):正

(2) Edit

実数xに関する次の条件p,q,r,sを考える。
p:|x-2|>2,q:x<0,r:x>4,s:√(x^2)>4
次の[ケ],[コ] に当てはまるものを,下の(0)~(3)のうちからそれぞれ一つ選べ。
ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。


qまたはrであることは,pであるための[ケ]。
また,sはrであるための[コ]。


(0):必要条件であるが,十分条件ではない
(1):十分条件であるが,必要条件ではない
(2):必要十分条件である
(3):必要条件でも十分条件でもない


p:|x-2|>2
x-2>2 (x-2≧0のとき),-(x-2)>2 (x-2<0のとき)
x>4 (x≧2のとき),-x+2>2 (x<2のとき)
x>4,x<0 (x<2のとき)
x>4,x<0

q:x<0
r:x>4

s:√(x^2)>4
x>4(x≧0のとき),-x>4(x<0のとき)
x>4,x<-4


p:x>4,x<0
q:x<0
r:x>4
s:x>4,x<-4

qまたはrであることは,pであるための[ケ]。

qまたはr: x<0,x>4
p:x>4,x<0
[ケ]:必要十分条件
 
また,sはrであるための[コ]。
s:x>4,x<-4
r:x>4
[コ]:必要条件

〔3〕 Edit

aを正の実数とし
f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21
とする。
2次関数 y=f(x)のグラフの頂点の x座標をpとおくと
p=[サ]+[シ]/a
である。
0≦x≦4における関数y=f(x)の最小値がf(4)となるようなaの値の範囲は
0<a≦[ス]
である。
また,0≦x≦4における関数y=f(x)の最小値がf(p)となるようなaの値の範囲は
[セ]≦aである。
したがって,0≦x≦4における関数y=f(x)の最小値が1
であるのは
a=[ソ]/[タ] または a={[チ]+√([ツテ])}/[ト]
のときである。


 f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21
=a(x^2-2/a(a+3)x)-3a+21
=a{x-(1+3/a)}^2-a(1+3/a)^2-3a+21
=a{x-(1+3/a)}^2-a-6+9/a-3a+21
=a{x-(1+3/a)}^2-4a+15+9/a

p=1+3/a
=[サ]+[シ]/a

(ここまで)