*第1問(必答問題)(配点30) [#s175cf02]
**〔1〕 [#pca6ad83]
xを実数とし
A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)
とおく。
整数nに対して
(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+[ア]n
であり,
----
(x+n)(n+5-x)
=x(n+5-x)+n^2+5n-nx
=x(5-x)+n^2+5n
=x(5-x)+n^2+[ア]n
----
したがって,
X=x(5-x)
とおくと
A=X(X+[イ])(X+[ウエ])
と表せる。
----
A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)
=x(5-x)(x+1)(x+2)(6-x)(7-x )
=X(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)
=X{(x+1)(6-x)}{(x+2)(7-x)}
=X{(x+1)(1+5-x)}{(x+2)(2+5-x)}
=X{x(5-x)+1^2+5*1}{x(5-x)+2^2+5*2}
=X{X+6}{X+14}
=X(X+[イ])(X+[ウエ])
----
x=(5+√17)/2のとき,X=[オ]であり,A=2^[カ]である。
----
X=x(5-x)
=(5+√17)/2[5-{(5+√17)/2}]
=(5+√17)/2(5-√17)/2
={5^2-(√17)^2}/4
={25-17}/4
={8}/4
=2
=[オ]
A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)
=X{X+6}{X+14}
=2{2+6}{2+14}
=2{8}{16}
=2{2^3}{2^4}
=2^8
=2^[カ]
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**〔2〕 [#qac14c5a]
***(1) [#wb4d999d]
全体集合Uを
U={x|xは20以下の自然数}とし,次の部分集合
A,B,Cを考える。
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
C={x|x∈Uかつxは偶数}
集合Aの補集合をA-と表し,空集合を∅と表す。
次の[キ] に当てはまるものを,下の0~3のうちから一つ選べ。
集合の関係
(a)A⊂C
(b)A∩B=∅
の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。
[キ]:(a)(b)
0:正正
1:正誤
2:誤正
3:誤誤
----
U={x|xは20以下の自然数}
={1,2,,,,,19,20}
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
={1,2,4,5,10,20}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
={3,6,9,12,15,18}
C={x|x∈Uかつxは偶数}
={2,4,6,,,,,,,18,20}
(a)A⊂C→AはすべてCに含まれる→誤
(b)A∩B=∅→AかつBを満たすものは無い→正
[キ]:2
----
集合の関係
(c)(A∪C)∩B={6,12,18}
(d)(A-∩C)∪B=A-∩(B∪C)
の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。
----
U={x|xは20以下の自然数}
={1,2,,,,,19,20}
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
={1,2,4,5,10,20}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
={3,6,9,12,15,18}
C={x|x∈Uかつxは偶数}
={2,4,6,,,,,,,18,20}
(c)(A∪C)∩B={6,12,18}
(A∪C)∩B
=({1,2,4,5,10,20}∪(または){2,4,6,,,,,,,18,20})∩(かつ){3,6,9,12,15,18}
={6,12,18}
(c):正
(d)(A-∩C)∪B=A-∩(B∪C)
(A-∩C)∪B
={6,8,12,14,16,18}∪{3,6,9,12,15,18}
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}
A-∩(B∪C)
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}
(d):正
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***(2) [#o2e4abc6]
実数xに関する次の条件p,q,r,sを考える。
p:|x-2|>2,q:x<0,r:x>4,s:√(x^2)>4
次の[ケ],[コ] に当てはまるものを,下の(0)~(3)のうちからそれぞれ一つ選べ。
ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
~
qまたはrであることは,pであるための[ケ]。
また,sはrであるための[コ]。
~
(0):必要条件であるが,十分条件ではない
(1):十分条件であるが,必要条件ではない
(2):必要十分条件である
(3):必要条件でも十分条件でもない
----
p:|x-2|>2
x-2>2 (x-2≧0のとき),-(x-2)>2 (x-2<0のとき)
x>4 (x≧2のとき),-x+2>2 (x<2のとき)
x>4,x<0 (x<2のとき)
x>4,x<0
q:x<0
r:x>4
s:√(x^2)>4
x>4(x≧0のとき),-x>4(x<0のとき)
x>4,x<-4
p:x>4,x<0
q:x<0
r:x>4
s:x>4,x<-4
qまたはrであることは,pであるための[ケ]。
qまたはr: x<0,x>4
p:x>4,x<0
[ケ]:必要十分条件
また,sはrであるための[コ]。
s:x>4,x<-4
r:x>4
[コ]:必要条件
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(ここまで)
----
〔
$
〕
a
を正の実数とし
f
(
x
)
=
ax
2
-
#
(
a
+
$
)
x
-
$
a
+
2
1
とする。
#
次関数
y
=
f
(
x
)
のグラフの頂点の
x
座標を
p
とおくと
p
=
サ
+
シ
a
である。
!
≦
x
≦
%
における関数
y
=
f
(
x
)
の最小値が
f
(
%
)
となるような
a
の値の
範囲は
!
<
a
≦
ス
である。
また,
!
≦
x
≦
%
における関数
y
=
f
(
x
)
の最小値が
f
(
p
)
となるような
a
の値の範囲は
セ
≦
a
である。
したがって,
!
≦
x
≦
%
における関数
y
=
f
(
x
)
の最小値が
"
であるのは
a
=
ソ
タ
または
a
=
チ
+
!
ツテ
ト
のときである