平成30年度/本試験/数学I・数学A/第1問 のバックアップ(No.5)


第1問(必答問題)(配点30) Edit

〔1〕xを実数とし
A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)
とおく。
整数nに対して
(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+[ア]n
であり,


(x+n)(n+5-x)
=x(n+5-x)+n^2+5n-nx
=x(5-x)+n^2+5n
=x(5-x)+n^2+[ア]n

したがって,
X=x(5-x)
とおくと
A=X(X+[イ])(X+[ウエ])
と表せる。


A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x) 
=x(5-x)(x+1)(x+2)(6-x)(7-x )
=X(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)
=X{(x+1)(6-x)}{(x+2)(7-x)}
=X{(x+1)(1+5-x)}{(x+2)(2+5-x)}
=X{x(5-x)+1^2+5*1}{x(5-x)+2^2+5*2}
=X{X+6}{X+14}
=X(X+[イ])(X+[ウエ])

x=(5+√17)/2のとき,X=[オ]であり,A=2^[カ]である。


X=x(5-x)
=(5+√17)/2[5-{(5+√17)/2}]
=(5+√17)/2(5-√17)/2
={5^2-(√17)^2}/4
={25-17}/4
={8}/4
=2
=[オ]

A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x) 
=X{X+6}{X+14}
=2{2+6}{2+14}
=2{8}{16}
=2{2^3}{2^4}
=2^8
=2^[カ]

〔2〕
(1)全体集合Uを
U={x|xは20以下の自然数}とし,次の部分集合
A,B,Cを考える。
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
C={x|x∈Uかつxは偶数}
集合Aの補集合をA-と表し,空集合を∅と表す。
次の[キ] に当てはまるものを,下の0~3のうちから一つ選べ。
集合の関係
(a)A⊂C
(b)A∩B=∅
の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。
[キ]:(a)(b)
0:正正
1:正誤
2:誤正
3:誤誤


U={x|xは20以下の自然数}
={1,2,,,,,19,20}
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
={1,2,4,5,10,20}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
={3,6,9,12,15,18}
C={x|x∈Uかつxは偶数} 
={2,4,6,,,,,,,18,20}

(a)A⊂C→AはすべてCに含まれる→誤
(b)A∩B=∅→AかつBを満たすものは無い→正

[キ]:2

集合の関係
(c)(A∪C)∩B={6,12,18}
(d)(A-∩C)∪B=A-∩(B∪C)
の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。


U={x|xは20以下の自然数}
={1,2,,,,,19,20}
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
={1,2,4,5,10,20}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
={3,6,9,12,15,18}
C={x|x∈Uかつxは偶数} 
={2,4,6,,,,,,,18,20}

(c)(A∪C)∩B={6,12,18}
(A∪C)∩B
=({1,2,4,5,10,20}∪(または){2,4,6,,,,,,,18,20})∩(かつ){3,6,9,12,15,18}
={6,12,18}
(c):正

(d)(A-∩C)∪B=A-∩(B∪C)
(A-∩C)∪B
={6,8,12,14,16,18}∪{3,6,9,12,15,18}
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}

A-∩(B∪C)
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}
(d):正

(ここまで)


実数
x
に関する次の条件
p

q

r

s
を考える。
p

"
x

&
!

&

q

x

%

r

x

'

s

!
x


'
次の
ケ,
コ に当てはまるものを,下の
!

$
のうちからそ
れぞれ一つ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
q
または
r
であることは,
p
であるための

。また,
s

r
であ
るための


!
必要条件であるが,十分条件ではない
"
十分条件であるが,必要条件ではない

#
必要十分条件である
$
必要条件でも十分条件でもない

数学
I

数学



問は次ページに続く


数学
I

数学















$

a
を正の実数とし
f

x


ax

#

a

$

x

$
a



とする。

#
次関数
y

f

x

のグラフの頂点の
x
座標を
p
とおくと
p




a
である。
!

x

%
における関数
y

f

x

の最小値が
f

%

となるような
a
の値の
範囲は
!

a


である。
また,
!

x

%
における関数
y

f

x

の最小値が
f

p

となるような
a
の値の範囲は


a
である。
したがって,
!

x

%
における関数
y

f

x

の最小値が
"
であるのは
a



または
a



!
ツテ

のときである