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*第1問(必答問題)(配点30) [#s175cf02]
〔1〕xを実数とし
**〔1〕 [#pca6ad83]
xを実数とし
A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)
とおく。
整数nに対して
(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+[ア]n
であり,
----
(x+n)(n+5-x)
=x(n+5-x)+n^2+5n-nx
=x(5-x)+n^2+5n
=x(5-x)+n^2+[ア]n
----
したがって,
X=x(5-x)
とおくと
A=X(X+[イ])(X+[ウエ])
と表せる。
----
A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)
=x(5-x)(x+1)(x+2)(6-x)(7-x )
=X(x+1)(x+2)(6-x)(7-x)
=X{(x+1)(6-x)}{(x+2)(7-x)}
=X{(x+1)(1+5-x)}{(x+2)(2+5-x)}
=X{x(5-x)+1^2+5*1}{x(5-x)+2^2+5*2}
=X{X+6}{X+14}
=X(X+[イ])(X+[ウエ])
----
x=(5+√17)/2のとき,X=[オ]であり,A=2^[カ]である。
----
X=x(5-x)
=(5+√17)/2[5-{(5+√17)/2}]
=(5+√17)/2(5-√17)/2
={5^2-(√17)^2}/4
={25-17}/4
={8}/4
=2
=[オ]
A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)
=X{X+6}{X+14}
=2{2+6}{2+14}
=2{8}{16}
=2{2^3}{2^4}
=2^8
=2^[カ]
----
(ここまで)
**〔2〕 [#qac14c5a]
***(1) [#wb4d999d]
全体集合Uを
U={x|xは20以下の自然数}とし,次の部分集合
A,B,Cを考える。
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
C={x|x∈Uかつxは偶数}
集合Aの補集合をA-と表し,空集合を∅と表す。
次の[キ] に当てはまるものを,下の0~3のうちから一つ選べ。
集合の関係
(a)A⊂C
(b)A∩B=∅
の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。
[キ]:(a)(b)
0:正正
1:正誤
2:誤正
3:誤誤
----
〔
%
〕
全体集合
U
を
U
=
{
x
!
x
は
2
0
以下の自然数}
とし,次の部分集合
A
,
B
,
C
を考える。
A
=
{
x
!
x
∈
U
かつ
x
は
2
0
の約数}
B
=
{
x
!
x
∈
U
かつ
x
は
&
の倍数}
C
=
{
x
!
x
∈
U
かつ
x
は偶数}
集合
A
の補集合を
A
と表し,空集合を〇
/と表す。
次の
キ に当てはまるものを,下の
!
~
$
のうちから一つ選べ。
U={x|xは20以下の自然数}
={1,2,,,,,19,20}
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
={1,2,4,5,10,20}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
={3,6,9,12,15,18}
C={x|x∈Uかつxは偶数}
={2,4,6,,,,,,,18,20}
(a)A⊂C→AはすべてCに含まれる→誤
(b)A∩B=∅→AかつBを満たすものは無い→正
[キ]:2
----
集合の関係
A
⊂
C
A
∩
B
=〇
/
の正誤の組合せとして正しいものは
キ
である。
!"#$
正正誤誤
正誤正誤
(
数学
I
・
数学
A
第
1
問は次ページに続く
。
)
数学
I
・
数学
A
―
2
2
―
(
2
1
0
4
―
2
2
)
次の
ク に当てはまるものを,下の
!
~
$
のうちから一つ選べ。
集合の関係
(
A
∪
C
)
∩
B
=
{
(
,
1
2
,
1
8
}
(
A
∩
C
)
∪
B
=
A
∩
(
B
∪
C
)
の正誤の組合せとして正しいものは
ク
である。
!"#$
正正誤誤
正誤正誤
実数
x
に関する次の条件
p
,
q
,
r
,
s
を考える。
p
:
"
x
-
&
!
>
&
,
q
:
x
<
%
,
r
:
x
>
'
,
s
:
!
x
2
>
'
次の
ケ,
コ に当てはまるものを,下の
!
~
$
のうちからそ
れぞれ一つ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
q
または
r
であることは,
p
であるための
ケ
。また,
s
は
r
であ
るための
コ
。
!
必要条件であるが,十分条件ではない
"
十分条件であるが,必要条件ではない
#
必要十分条件である
$
必要条件でも十分条件でもない
(
数学
I
・
数学
A
第
1
問は次ページに続く
。
)
数学
I
・
数学
A
―
2
3
―
(
2
1
0
4
―
2
3
)
〔
$
〕
a
を正の実数とし
f
(
x
)
=
ax
2
-
#
(
a
+
$
)
x
-
$
a
+
2
1
(c)(A∪C)∩B={6,12,18}
(d)(A-∩C)∪B=A-∩(B∪C)
の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。
----
U={x|xは20以下の自然数}
={1,2,,,,,19,20}
A={x|x∈Uかつxは20の約数}
={1,2,4,5,10,20}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
={3,6,9,12,15,18}
C={x|x∈Uかつxは偶数}
={2,4,6,,,,,,,18,20}
(c)(A∪C)∩B={6,12,18}
(A∪C)∩B
=({1,2,4,5,10,20}∪(または){2,4,6,,,,,,,18,20})∩(かつ){3,6,9,12,15,18}
={6,12,18}
(c):正
(d)(A-∩C)∪B=A-∩(B∪C)
(A-∩C)∪B
={6,8,12,14,16,18}∪{3,6,9,12,15,18}
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}
A-∩(B∪C)
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}
(d):正
----
***(2) [#o2e4abc6]
実数xに関する次の条件p,q,r,sを考える。
p:|x-2|>2,q:x<0,r:x>4,s:√(x^2)>4
次の[ケ],[コ] に当てはまるものを,下の(0)~(3)のうちからそれぞれ一つ選べ。
ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
~
qまたはrであることは,pであるための[ケ]。
また,sはrであるための[コ]。
~
(0):必要条件であるが,十分条件ではない
(1):十分条件であるが,必要条件ではない
(2):必要十分条件である
(3):必要条件でも十分条件でもない
----
p:|x-2|>2
x-2>2 (x-2≧0のとき),-(x-2)>2 (x-2<0のとき)
x>4 (x≧2のとき),-x+2>2 (x<2のとき)
x>4,x<0 (x<2のとき)
x>4,x<0
q:x<0
r:x>4
s:√(x^2)>4
x>4(x≧0のとき),-x>4(x<0のとき)
x>4,x<-4
p:x>4,x<0
q:x<0
r:x>4
s:x>4,x<-4
qまたはrであることは,pであるための[ケ]。
qまたはr: x<0,x>4
p:x>4,x<0
[ケ]:必要十分条件
また,sはrであるための[コ]。
s:x>4,x<-4
r:x>4
[コ]:必要条件
----
**〔3〕 [#s1fab3d9]
aを正の実数とし
f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21
とする。
#
次関数
y
=
f
(
x
)
のグラフの頂点の
x
座標を
p
とおくと
p
=
サ
+
シ
a
2次関数 y=f(x)のグラフの頂点の x座標をpとおくと
p=[サ]+[シ]/a
である。
!
≦
x
≦
%
における関数
y
=
f
(
x
)
の最小値が
f
(
%
)
となるような
a
の値の
範囲は
!
<
a
≦
ス
0≦x≦4における関数y=f(x)の最小値がf(4)となるようなaの値の範囲は
0<a≦[ス]
である。
また,
!
≦
x
≦
%
における関数
y
=
f
(
x
)
の最小値が
f
(
p
)
となるような
a
の値の範囲は
セ
≦
a
である。
したがって,
!
≦
x
≦
%
における関数
y
=
f
(
x
)
の最小値が
"
また,0≦x≦4における関数y=f(x)の最小値がf(p)となるようなaの値の範囲は
[セ]≦aである。
したがって,0≦x≦4における関数y=f(x)の最小値が1
であるのは
a
=
ソ
タ
または
a
=
チ
+
!
ツテ
ト
のときである
a=[ソ]/[タ] または a={[チ]+√([ツテ])}/[ト]
のときである。
----
f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21
=a(x^2-2/a(a+3)x)-3a+21
=a{x-(1+3/a)}^2-a(1+3/a)^2-3a+21
=a{x-(1+3/a)}^2-a-6+9/a-3a+21
=a{x-(1+3/a)}^2-4a+15-9/a
p=1+3/a
=[サ]+[シ]/a
~
a>0よりf(x)は下に凸の二次関数。
~
0≦x≦4における関数y=f(x)の最小値がf(4)
→p=1+3/a≧4
3≧3a
3≧3a
a≦1
0<a≦[ス]
(a:正の実数→a>0)
~
0≦x≦4における関数y=f(x)の最小値がf(p)
→p=1+3/a≦4
1≦a
[セ]≦a
~
0≦x≦4における関数y=f(x)の最小値が1
f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21
a≦1のとき、
f(4)=16a-8(a+3)-3a+21
=5a-3
=1
a=4/5 (a≦1を満たしている)
a=[ソ]/[タ]
1≦aのとき、
f(x)=ax^2-2(a+3)x-3a+21
=a{x-(1+3/a)}^2-4a+15-9/a
=a{x-p}^2-4a+15-9/a
f(p)=-4a+15-9/a
=1
-4a+15-9/a =1
4a^2-14a+9 =0
a={14±√(14^2-4・4・9)}/8
={14±2√(7^2-4・9)}/8
={7±√(49-36)}/4
={7±√(13)}/4
a={[チ]+√([ツテ])}/[ト]