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*第１問（必答問題）（配点３０） [#s175cf02]
〔1〕xを実数とし
**〔1〕 [#pca6ad83]
xを実数とし
A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x）
とおく。
整数nに対して
（x＋n）（n＋5－x）＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n
であり，
----
（x＋n）（n＋5－x）
＝x（n＋5－x）+n^2+5n-nx
＝x（5－x）+n^2+5n
＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n
（x＋n）（n＋5－x）
＝x（n＋5－x）+n^2+5n-nx
＝x（5－x）+n^2+5n
＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n
----
したがって，
X＝x（5－x）
とおくと
A＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ])
と表せる。
----
A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x）
＝x（5－x）（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x）
＝X（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x）
＝X{（x＋1）（6－x）}{（x＋2）（7－x）}
＝X{（x＋1）（1+5－x）}{（x＋2）（2+5－x）}
＝X{x（5－x）+1^2+5*1}{x（5－x）+2^2+5*2}
＝X{X+6}{X+14}
＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ])
A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x）
＝x（5－x）（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x ）
＝X（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x）
＝X{（x＋1）（6－x）}{（x＋2）（7－x）}
＝X{（x＋1）（1+5－x）}{（x＋2）（2+5－x）}
＝X{x（5－x）+1^2+5*1}{x（5－x）+2^2+5*2}
＝X{X+6}{X+14}
＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ])
----
x＝(５＋√１７)/2のとき，X＝[オ]であり，A＝２^[カ]である。
----
X＝x（5－x）
=(５＋√１７)/2[5－{(５＋√１７)/2}]
=(５＋√１７)/2(5－√１７)/2
={５^2-(√１７)^2}/4
={25-１７}/4
={8}/4
=2
＝[オ]
A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x）
＝X{X+6}{X+14}
＝2{2+6}{2+14}
＝2{8}{16}
＝2{2^3}{2^4}
＝2^8
＝２^[カ]
(ここまで)
----
x
＝
５
＋
!
１
７
"
のとき，
X
＝
オ
であり，
A
＝
２
カ
である。
（
数学
I
・
数学
Ａ
第
１
問は
２
２
ページに続く
。
）
（注）
この科目には，選択問題があります。
（
１
９
ページ参照。
）
数学
I
・
数学
Ａ
―
２
０
―
（
２
１
０
４
―
２
０
）
〔
%
〕
全体集合
U
を
U
＝
｛
x
!
x
は
２
０
以下の自然数｝
とし，次の部分集合
A
，
B
，
C
を考える。
A
＝
｛
x
!
x
∈
U
かつ
x
は
２
０
の約数｝
B
＝
｛
x
!
x
∈
U
かつ
x
は
&
の倍数｝
C
＝
｛
x
!
x
∈
U
かつ
x
は偶数｝
集合
A
の補集合を
A
と表し，空集合を〇
／と表す。
次の
キ に当てはまるものを，下の
!
～
$
のうちから一つ選べ。
**〔2〕 [#qac14c5a]
***(1) [#wb4d999d]
全体集合Uを
U＝｛x|xは２０以下の自然数｝とし，次の部分集合
A，B，Cを考える。
A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝
B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝
C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝
集合Aの補集合をA-と表し，空集合を∅と表す。
次の[キ] に当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ。
集合の関係
A
⊂
C
A
∩
B
＝〇
／
の正誤の組合せとして正しいものは
キ
である。
!"#$
正正誤誤
正誤正誤
（
数学
I
・
数学
Ａ
第
１
問は次ページに続く
。
）
数学
I
・
数学
Ａ
―
２
２
―
（
２
１
０
４
―
２
２
）
次の
ク に当てはまるものを，下の
!
～
$
のうちから一つ選べ。
(a)A⊂C
(b)A∩B＝∅
の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。
[キ]:(a)(b)
0:正正
1:正誤
2:誤正
3:誤誤
----
U＝｛x|xは２０以下の自然数｝
={1,2,,,,,19,20}
A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝
={1,2,4,5,10,20}
B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝
={3,6,9,12,15,18}
C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝
={2,4,6,,,,,,,18,20}
(a)A⊂C→AはすべてCに含まれる→誤
(b)A∩B＝∅→AかつBを満たすものは無い→正
[キ]：２
----
集合の関係
（
A
∪
C
）
∩
B
＝
｛
(
，
１
２
，
１
８
｝
（
A
∩
C
）
∪
B
＝
A
∩
（
B
∪
C
）
の正誤の組合せとして正しいものは
ク
である。
!"#$
正正誤誤
正誤正誤
実数
x
に関する次の条件
p
，
q
，
r
，
s
を考える。
p
：
"
x
－
&
!
＞
&
，
q
：
x
＜
%
，
r
：
x
＞
'
，
s
：
!
x
２
＞
'
次の
ケ，
コ に当てはまるものを，下の
!
～
$
のうちからそ
れぞれ一つ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
q
または
r
であることは，
p
であるための
ケ
。また，
s
は
r
であ
るための
コ
。
!
必要条件であるが，十分条件ではない
"
十分条件であるが，必要条件ではない
#
必要十分条件である
$
必要条件でも十分条件でもない
（
数学
I
・
数学
Ａ
第
１
問は次ページに続く
。
）
数学
I
・
数学
Ａ
―
２
３
―
（
２
１
０
４
―
２
３
）
〔
$
〕
a
を正の実数とし
f
（
x
）
＝
ax
２
－
#
（
a
＋
$
）
x
－
$
a
＋
２
１
(c)（A∪C）∩B＝｛6，１２，１８｝
(d)（A-∩C）∪B＝A-∩（B∪C）
の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。
----
U＝｛x|xは２０以下の自然数｝
={1,2,,,,,19,20}
A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝
={1,2,4,5,10,20}
B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝
={3,6,9,12,15,18}
C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝
={2,4,6,,,,,,,18,20}
(c)（A∪C）∩B＝｛6，１２，１８｝
（A∪C）∩B
=（{1,2,4,5,10,20}∪(または){2,4,6,,,,,,,18,20}）∩（かつ）{3,6,9,12,15,18}
={6,12,18}
(c)：正
(d)（A-∩C）∪B＝A-∩（B∪C）
（A-∩C）∪B
={6,8,12,14,16,18}∪{3,6,9,12,15,18}
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}
A-∩（B∪C）
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}
(d)：正
----
***(2) [#o2e4abc6]
実数xに関する次の条件p，q，r，sを考える。
p：|x－2|＞2，q：x＜0，r：x＞4，s：√(x^２)>4
次の[ケ]，[コ] に当てはまるものを，下の(0)～(3)のうちからそれぞれ一つ選べ。
ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
~
qまたはrであることは，pであるための[ケ]。
また，sはrであるための[コ]。
~
(0):必要条件であるが，十分条件ではない
(1):十分条件であるが，必要条件ではない
(2):必要十分条件である
(3):必要条件でも十分条件でもない
----
p：|x－2|＞2
x－2＞2 (x-2≧0のとき),－(x－2)＞2 (x-2<0のとき)
x＞4 (x≧2のとき),－x＋2＞2 (x<２のとき)
x＞4,x＜０ (x<２のとき)
x＞4,x＜０
q：x＜0
r：x＞4
s：√(x^２)>4
x>4(x≧０のとき),－x>4(x＜０のとき)
x>4,x＜－４
p：x＞4,x＜０
q：x＜0
r：x＞4
s：x>4,x＜－４
qまたはrであることは，pであるための[ケ]。
qまたはr: x＜0,x＞4
p：x＞4,x＜０
[ケ]：必要十分条件
また，sはrであるための[コ]。
s：x>4,x＜－４
r：x＞4
[コ]：必要条件
----
**〔3〕 [#s1fab3d9]
aを正の実数とし
f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１
とする。
#
次関数
y
＝
f
（
x
）
のグラフの頂点の
x
座標を
p
とおくと
p
＝
サ
＋
シ
a
2次関数 y＝f（x）のグラフの頂点の x座標をpとおくと
p＝[サ]＋[シ]/a
である。
!
≦
x
≦
%
における関数
y
＝
f
（
x
）
の最小値が
f
（
%
）
となるような
a
の値の
範囲は
!
＜
a
≦
ス
0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（4）となるようなaの値の範囲は
0＜a≦[ス]
である。
また，
!
≦
x
≦
%
における関数
y
＝
f
（
x
）
の最小値が
f
（
p
）
となるような
a
の値の範囲は
セ
≦
a
である。
したがって，
!
≦
x
≦
%
における関数
y
＝
f
（
x
）
の最小値が
"
また，0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（p）となるようなaの値の範囲は
[セ]≦aである。
したがって，0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値が1
であるのは
a
＝
ソ
タ
または
a
＝
チ
＋
!
ツテ
ト
のときである
a＝[ソ]/[タ] または a＝{[チ]＋√([ツテ])}/[ト]
のときである。
----
f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１
=a(x^２－2/a（a＋3）x)－3a＋２１
=a{x－(1+3/a)}^2－a(1+3/a)^2－3a＋２１
=a{x－(1+3/a)}^2－a-6+9/a－3a＋２1
=a{x－(1+3/a)}^2－4a+15-9/a
p=1+3/a
＝[サ]＋[シ]/a
~
a>0よりf(x)は下に凸の二次関数。
~
0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（4）
→p=1+3/a≧4
3≧3a
3≧3a
a≦1
0＜a≦[ス]
(a:正の実数→a>0)
~
0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値がf（p）
→p=1+3/a≦4
1≦a
[セ]≦a
~
0≦x≦4における関数y＝f（x）の最小値が1
f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１
a≦1のとき、
f（4）＝16a－8（a＋3）－3a＋２１
＝5a－3
＝1
a=4/5 (a≦1を満たしている)
a＝[ソ]/[タ]
1≦aのとき、
f（x）＝ax^２－2（a＋3）x－3a＋２１
=a{x－(1+3/a)}^2－4a+15-9/a
=a{x－p}^2－4a+15-9/a
f（p）＝－4a+15-9/a
＝1
－4a+15-9/a ＝1
4a^2-14a+9 ＝0
a={14±√(14^2-4・４・９)}/8
={14±2√(7^2-4・９)}/8
={7±√(49-36)}/4
={7±√(13)}/4
a＝{[チ]＋√([ツテ])}/[ト]
