平成30年度/本試験/数学I・数学Ａ/第1問 のバックアップ(No.6)
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第１問（必答問題）（配点３０） 
〔1〕
xを実数とし
A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x）
とおく。
整数nに対して
（x＋n）（n＋5－x）＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n
であり，
（x＋n）（n＋5－x） ＝x（n＋5－x）+n^2+5n-nx ＝x（5－x）+n^2+5n ＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n
したがって，
X＝x（5－x）
とおくと
A＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ])
と表せる。
A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x）
＝x（5－x）（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x ）
＝X（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x）
＝X{（x＋1）（6－x）}{（x＋2）（7－x）}
＝X{（x＋1）（1+5－x）}{（x＋2）（2+5－x）}
＝X{x（5－x）+1^2+5*1}{x（5－x）+2^2+5*2}
＝X{X+6}{X+14}
＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ])
x＝(５＋√１７)/2のとき，X＝[オ]であり，A＝２^[カ]である。
X＝x（5－x）
=(５＋√１７)/2[5－{(５＋√１７)/2}]
=(５＋√１７)/2(5－√１７)/2
={５^2-(√１７)^2}/4
={25-１７}/4
={8}/4
=2
＝[オ]
A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x）
＝X{X+6}{X+14}
＝2{2+6}{2+14}
＝2{8}{16}
＝2{2^3}{2^4}
＝2^8
＝２^[カ]
〔2〕
(1)
全体集合Uを
U＝｛x|xは２０以下の自然数｝とし，次の部分集合
A，B，Cを考える。
A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝
B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝
C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝
集合Aの補集合をA-と表し，空集合を∅と表す。
次の[キ] に当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ。
集合の関係
(a)A⊂C
(b)A∩B＝∅
の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。
[キ]:(a)(b)
0:正正
1:正誤
2:誤正
3:誤誤
U＝｛x|xは２０以下の自然数｝
={1,2,,,,,19,20}
A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝
={1,2,4,5,10,20}
B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝
={3,6,9,12,15,18}
C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝
={2,4,6,,,,,,,18,20}
(a)A⊂C→AはすべてCに含まれる→誤
(b)A∩B＝∅→AかつBを満たすものは無い→正
[キ]：２
集合の関係
(c)（A∪C）∩B＝｛6，１２，１８｝
(d)（A-∩C）∪B＝A-∩（B∪C）
の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。
U＝｛x|xは２０以下の自然数｝
={1,2,,,,,19,20}
A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝
={1,2,4,5,10,20}
B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝
={3,6,9,12,15,18}
C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝
={2,4,6,,,,,,,18,20}
(c)（A∪C）∩B＝｛6，１２，１８｝
（A∪C）∩B
=（{1,2,4,5,10,20}∪(または){2,4,6,,,,,,,18,20}）∩（かつ）{3,6,9,12,15,18}
={6,12,18}
(c)：正
(d)（A-∩C）∪B＝A-∩（B∪C）
（A-∩C）∪B
={6,8,12,14,16,18}∪{3,6,9,12,15,18}
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}
A-∩（B∪C）
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}
(d)：正
(2)
実数xに関する次の条件p，q，r，sを考える。
p：|x－2|＞2，q：x＜0，r：x＞4，s：√(x^２)>4
次の[ケ]，[コ] に当てはまるものを，下の(0)～(3)のうちからそれぞれ一つ選べ。
ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
qまたはrであることは，pであるための[ケ]。
また，sはrであるための[コ]。
(0):必要条件であるが，十分条件ではない
(1):十分条件であるが，必要条件ではない
(2):必要十分条件である
(3):必要条件でも十分条件でもない
p：|x－2|＞2 x－2＞2 (x-2≧0のとき),－(x－2)＞2 (x-2<0のとき) x＞4 (x≧2のとき),－x＋2＞2 (x<２のとき) x＞4,x＜０ (x<２のとき) x＞4,x＜０ q：x＜0 r：x＞4 s：√(x^２)>4 x>4(x≧０のとき),－x>4(x＜０のとき) x>4,x＜－４ p：x＞4,x＜０ q：x＜0 r：x＞4 s：x>4,x＜－４ qまたはrであることは，pであるための[ケ]。 qまたはr: x＜0,x＞4 p：x＞4,x＜０ [ケ]：必要十分条件 また，sはrであるための[コ]。 s：x>4,x＜－４ r：x＞4 [コ]：必要条件
(ここまで)
〔
$
〕
a
を正の実数とし
f
（
x
）
＝
ax
２
－
#
（
a
＋
$
）
x
－
$
a
＋
２
１
とする。
#
次関数
y
＝
f
（
x
）
のグラフの頂点の
x
座標を
p
とおくと
p
＝
サ
＋
シ
a
である。
!
≦
x
≦
%
における関数
y
＝
f
（
x
）
の最小値が
f
（
%
）
となるような
a
の値の
範囲は
!
＜
a
≦
ス
である。
また，
!
≦
x
≦
%
における関数
y
＝
f
（
x
）
の最小値が
f
（
p
）
となるような
a
の値の範囲は
セ
≦
a
である。
したがって，
!
≦
x
≦
%
における関数
y
＝
f
（
x
）
の最小値が
"
であるのは
a
＝
ソ
タ
または
a
＝
チ
＋
!
ツテ
ト
のときである