平成30年度/本試験/数学I・数学Ａ/第1問 のバックアップ(No.5)

第１問（必答問題）（配点３０） Edit

〔1〕xを実数とし
A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x）
とおく。
整数nに対して
（x＋n）（n＋5－x）＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n
であり，

（x＋n）（n＋5－x）
＝x（n＋5－x）+n^2+5n-nx
＝x（5－x）+n^2+5n
＝x（5－x）＋n^2＋[ア]n

したがって，
X＝x（5－x）
とおくと
A＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ])
と表せる。

A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x） 
＝x（5－x）（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x ）
＝X（x＋1）（x＋2）（6－x）（7－x）
＝X{（x＋1）（6－x）}{（x＋2）（7－x）}
＝X{（x＋1）（1+5－x）}{（x＋2）（2+5－x）}
＝X{x（5－x）+1^2+5*1}{x（5－x）+2^2+5*2}
＝X{X+6}{X+14}
＝X(X＋[イ])(X＋[ウエ])

x＝(５＋√１７)/2のとき，X＝[オ]であり，A＝２^[カ]である。

X＝x（5－x）
=(５＋√１７)/2[5－{(５＋√１７)/2}]
=(５＋√１７)/2(5－√１７)/2
={５^2-(√１７)^2}/4
={25-１７}/4
={8}/4
=2
＝[オ]

A＝x（x＋1）（x＋2）（5－x）（6－x）（7－x） 
＝X{X+6}{X+14}
＝2{2+6}{2+14}
＝2{8}{16}
＝2{2^3}{2^4}
＝2^8
＝２^[カ]

〔2〕
(1)全体集合Uを
U＝｛x|xは２０以下の自然数｝とし，次の部分集合
A，B，Cを考える。
A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝
B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝
C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝
集合Aの補集合をA-と表し，空集合を∅と表す。
次の[キ] に当てはまるものを，下の0～3のうちから一つ選べ。
集合の関係
(a)A⊂C
(b)A∩B＝∅
の正誤の組合せとして正しいものは[キ]である。
[キ]:(a)(b)
0:正正
1:正誤
2:誤正
3:誤誤

U＝｛x|xは２０以下の自然数｝
={1,2,,,,,19,20}
A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝
={1,2,4,5,10,20}
B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝
={3,6,9,12,15,18}
C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝ 
={2,4,6,,,,,,,18,20}

(a)A⊂C→AはすべてCに含まれる→誤
(b)A∩B＝∅→AかつBを満たすものは無い→正

[キ]：２

集合の関係
(c)（A∪C）∩B＝｛6，１２，１８｝
(d)（A-∩C）∪B＝A-∩（B∪C）
の正誤の組合せとして正しいものは[ク]である。

U＝｛x|xは２０以下の自然数｝
={1,2,,,,,19,20}
A＝｛x|x∈Uかつxは２０の約数｝
={1,2,4,5,10,20}
B＝｛x|x∈Uかつxは3の倍数｝
={3,6,9,12,15,18}
C＝｛x|x∈Uかつxは偶数｝ 
={2,4,6,,,,,,,18,20}

(c)（A∪C）∩B＝｛6，１２，１８｝
（A∪C）∩B
=（{1,2,4,5,10,20}∪(または){2,4,6,,,,,,,18,20}）∩（かつ）{3,6,9,12,15,18}
={6,12,18}
(c)：正

(d)（A-∩C）∪B＝A-∩（B∪C）
（A-∩C）∪B
={6,8,12,14,16,18}∪{3,6,9,12,15,18}
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}

A-∩（B∪C）
={3,6,8,9,12,14,15,16,18}
(d)：正

(ここまで)

実数
x
に関する次の条件
p
，
q
，
r
，
s
を考える。
p
：
"
x
－
&
!
＞
&
，
q
：
x
＜
%
，
r
：
x
＞
'
，
s
：
!
x
２
＞
'
次の
ケ，
コ に当てはまるものを，下の
!
～
$
のうちからそ
れぞれ一つ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
q
または
r
であることは，
p
であるための
ケ
。また，
s
は
r
であ
るための
コ
。
!
必要条件であるが，十分条件ではない
"
十分条件であるが，必要条件ではない

#
必要十分条件である
$
必要条件でも十分条件でもない
（
数学
I
・
数学
Ａ
第
１
問は次ページに続く
。
）
数学
I
・
数学
Ａ
―
２
３
―
（
２
１
０
４
―
２
３
）
〔
$
〕
a
を正の実数とし
f
（
x
）
＝
ax
２
－

#
（
a
＋
$
）
x
－
$
a
＋
２
１
とする。

#
次関数
y
＝
f
（
x
）
のグラフの頂点の
x
座標を
p
とおくと
p
＝
サ
＋
シ
a
である。
!
≦
x
≦
%
における関数
y
＝
f
（
x
）
の最小値が
f
（
%
）
となるような
a
の値の
範囲は
!
＜
a
≦
ス
である。
また，
!
≦
x
≦
%
における関数
y
＝
f
（
x
）
の最小値が
f
（
p
）
となるような
a
の値の範囲は
セ
≦
a
である。
したがって，
!
≦
x
≦
%
における関数
y
＝
f
（
x
）
の最小値が
"
であるのは
a
＝
ソ
タ
または
a
＝
チ
＋
!
ツテ
ト
のときである